Математики есть?

[Ilya_777]

Одному ребенку нужно решить систему квадратных уравнений вида:

x^2+y=a
y^2+x=b

Частный случай a=31, b=41

Я попробовал выразить y через x (y=31-x^2), получилось

(31-x^2)^2+x=41, что дает
x^4-62x^2+x+920=0 (вроде так, если правильно перемножил скобки ) - уравнение четвертой степени - не очень здорово

Я чувствую, хотя и не уверен, что это частный случай систем квадратных уравнений и есть более простое и изящное решение, помогите, пожалуйста, кто сведущ

[kaida]

Как мне кажется, надо в крайнем уравнении (x^4-62x^2+x+920=0) ввести обозначения типа z=x^2 далее решив квадратное уравнение исключить отрицательные корни, ежели такие образуются. вроде все
P.S. Да, если ребенок уже изучал комплексные числа, отрицательные значения удалять не надо

[dervish00]

Вообще-то это уже дифференциальное уравнение. Если, как было написано ТС, это нужно ребенку, то, как вариант, можно найти какие-то частные корни уравнения. Например, так:
1. Вычитаем одно уравнение из другого (из нижнего верхнее):
у^2+x-x^2-y=b-a
2. Группируем:
(y^2-x^2)-(y-x)=b-a
3. Раскладываем выражение в первых скобках на множители:
(y-x)(y+x)-(y-x)=b-a
4. Выносим общий множитель (y-x) за скобки:
(y-x)(y+x-1)=b-a
5. А вот теперь начинаем искать частное решение. Принимаем (y-x) равным 1, тогда уравнение распадается на простенькую систему:
y-x=1
y+x-1=b-a
6. Из первого уравнения новой системы:
y=1+x
7. Подставляем полученный результат во второе уравнение новой системы, получаем:
1+x+x-1=b-a или 2x=b-a или x=(b-a)/2
8. Соответственно:
y=1+(b-a)/2

Подставляя значения которые даны в исходной задаче для a и b, получаем
x=5 y=6

Проверяем:
5^2+6 = 25+6 = 31
6^2+5 = 36+5 = 41

Бинго!

[Георгий Наумов]

В "Принимаем (y-x) равным 1" содержится попытка угадки. Почему не 2, например, а именно 1?

Кроме того, решений у системы 4 пары. Проще всего их найти, аккуратно построив 2 параболы:
y=-x^2+31
x=-y^2+41
и найти их точки перечения - их будет четыре. Точка (x;y) = (5;6) - одна из этих точек пересечения.

[dervish00]

В "Принимаем (y-x) равным 1" содержится попытка угадки. Почему не 2, например, а именно 1?

Кроме того, решений у системы 4 пары. Проще всего их найти, аккуратно построив 2 параболы:
y=-x^2+31
x=-y^2+41
и найти их точки перечения - их будет четыре. Точка (x;y) = (5;6) - одна из этих точек пересечения.

я поэтому и написал "частные" решения. графическое решение имеет место быть, но таким способом, в общем случае, находятся приблизительные решения, а не точные... а выражение у-х = 1 принял только из-за простоты. ничто не мешает принять его равным 18456 итп )))

[Ilya_777]

Вообще-то это уже дифференциальное уравнение. Если, как было написано ТС, это нужно ребенку, то, как вариант, можно найти какие-то частные корни уравнения. Например, так:
1. Вычитаем одно уравнение из другого (из нижнего верхнее):
у^2+x-x^2-y=b-a
2. Группируем:
(y^2-x^2)-(y-x)=b-a
3. Раскладываем выражение в первых скобках на множители:
(y-x)(y+x)-(y-x)=b-a
4. Выносим общий множитель (y-x) за скобки:
(y-x)(y+x-1)=b-a
5. А вот теперь начинаем искать частное решение. Принимаем (y-x) равным 1, тогда уравнение распадается на простенькую систему:
y-x=1
y+x-1=b-a
6. Из первого уравнения новой системы:
y=1+x
7. Подставляем полученный результат во второе уравнение новой системы, получаем:
1+x+x-1=b-a или 2x=b-a или x=(b-a)/2
8. Соответственно:
y=1+(b-a)/2

Подставляя значения которые даны в исходной задаче для a и b, получаем
x=5 y=6

Проверяем:
5^2+6 = 25+6 = 31
6^2+5 = 36+5 = 41

Бинго!

Спасибо, примерно так мне и подсказали на одном математическом форуме профессора, наверное все так и должно быть Только действительно 1 и b-a - это частные случаи. Там, в общем получается при a=31, b=41 (но я вычитал из верхнего нижнее)
(x-y)(x+y-1) = -10

Теперь нужно перебирать множители
1, -10
-1, 10 (единственный, удовлетворяющий исходной системе)
10, -1
-10, 1
2, -5
-2, 5
5, -2
-5, 2

При x-y=-1, x+y-1=10 ответ и есть x=5, y=6

Но... это целые корни, а есть еще иррациональные Но туда лучше не лезть...

[Arti]

Ilya_777,
Это все понятно, фактически вы перебрали ограниченное число вариантов, делая предположение (не указанное в условиях задачи), что есть хотя бы одна пара {x;y} целых корней уравнения. Однако, как вы сами понимаете, такое бывает далеко не всегда. Фактически это очень большое допущение. Ведь в условиях задачи не было сказано, что есть такая пара обязательно целых чисел. Также как и не было сказано , что y-x=1, как положил dervish00, когда начал искать частное решение.
Ну это так, к слову.

Ладно, о.к., нашли корень x=5.
Что можно дальше сделать с уравнением
x*x*x*x-62*x*x+x+920=0,
которое вы вывели?

Так как найден один корень, то его можно разложить на множители (два многочлена):
x*x*x*x-62*x*x+x+920=(x-5)*(x*x*x+a*x*x+b*x+c)

решая простую с-му линейных ур-ний, находим коэффициенты a,b,c и уравнение уже третьей степени:

x*x*x+5*x*x-37*x-184=0

Может я ошибся в вычислениях, но это несущественно, т.к. дальше я с этим уравнением до конца (т.е. до получения корней) работать не буду.
Для таких уравнений третьей степени есть механизм получения корней (формула Кардано), но там получаются очень громоздкие формулы, можете посмотреть, если интересуетесь:

формула Кардано

обсуждение в форуме

То есть, получение 3-х оставшихся корней в точном, алгебраическом виде - задача весьма нудная, как мне кажется. Вот, к примеру, какой ответ дает одна из матем. программ (см. 1-ое вложение). На то, что там присутствует i - мнимая единица - комплексное число - не обращайте внимания Это издержки громоздкой формулы. На самом деле то, что все 4 корня уравнения вещественные - это видно из графика (см. второе вложение). Можно это доказать и другими способами.

kaida, вы ошиблись, замена z=x*x ни к чему не приведет, т.к. это не биквадратное уравнение (см. ненулевой коэффициент при x)

dervish00

Вообще-то это уже дифференциальное уравнение.

Нет, это не диф. уравнение. С чего вы взяли?


Ilya_777, мне что-то не очень понравилась эта задача. Подбор фактически с потолка (нет упоминания о наличии целых корней в условии задачи) одного корня и потом применение громоздких вычислений - это не очень элегантно.

[Arti]

На самом деле есть методы решения и уравнений 4-ой степени, они опираются на решение уравнений низших степеней (3 и 2). Но там запутаться в вычислениях можно будет практически со 100% вероятностью

[dervish00]

dervish00
Нет, это не диф. уравнение. С чего вы взяли?

Ну да, что-то я с дифуром ступил, согласен. )))

[Ilya_777]

Пока остановимся на предположении о наличии целых корней, "данном" в условии В любом случае всем спасибо за помощь

[BK]

Наиболее правильные ссылки (по употребляемым терминам, сами ссылки я не смотрел) дает Arti. Данная система из двух уравнений имеет решение в радикалах, т.е. решения могут выражены через "a" и "b" при помощи рациональных операций и извлечения корней. Решать можно "в лоб". Выражаем "y" через "x" из 1-го уравнения и подставляем во второе. Получаем обычное уравнение 4-й степени. Когда найдём его корни, то вернемся к первому квадратному уравнению, чтобы получить значения "y". Уравнение 4-й степени сразу в удобном нам виде, т.е. коэфф. при x**3 равен нулю. Если бы это было не так, то пришлось бы сначала сделать преобразование x = z - одна четверть коэффициента при x**3, и далее решать уравнение для z. Но даже этого делать не нужно. Данное ур-е (4-й степени без X в кубе) решается путем построения его кубической резольвенты, для которой уже есть известные кардановские решения.

Подробнее см. теорию Галуа, например, в изложении: Б.Л. Ван-дер-Варден, Современная алгебра, часть 1, ОНТИ-ГТТИ 1934 г., перевод с немецкого издания 1930 г.

[Георгий Наумов]

Одному ребенку нужно решить систему квадратных уравнений вида...

Данное ур-е (4-й степени без X в кубе) решается путем построения его кубической резольвенты, для которой уже есть известные кардановские решения.

Подробнее см. теорию Галуа...

[BK]

Ну, ребенку можно объяснить основы. Что корни любого уравнения n-й степени, для n = 1,2,3,4, можно выразить простыми формулами от коэффициентов уравнения, содержащими только арифметические операции и операцию извлечения корня. А для n >= 5 решения уравнения в радикалах, вообще говоря, может не быть. Последнее утверждение есть теорема Абеля.

[ocean07]

издевается...

[АлександрД]

Элементарно
первое (и самое основное) - ребенок - т.е. первое допущение что оперируем с целыми. И то что решение должно быть максимально простым. так же для начала считаем что работаем только с положительными числами.(первый пробный вариант подбора, не прокатит - будем искать другие варианты)

второе - уравнения симметричны, оба представляют собой квадрат числа плюс что-то.

определяем максимальное значение, которое может принять число в квадрате - (не надо знать даже корни! берем диагональ таблицы умножения!) для 31 - это 5. для 41 это 6. т.е. Х не больше 5, У не больше 6.
(поясню - если бы Х мог бы быть 6 - то 6*6=36 что заведомо больше 31, так же для У)

проверяем - если Х=5, то У=31-5*5=6
если У=6 то Х=41-6*6=5 - сошлось.

вот и ответ. Х=5, У=6.

для варианта с отрицательными продумайте сами (схожая методика - нужно определить, какие максимальными могут быть значения :) )

[LK]

для варианта с отрицательными продумайте сами (схожая методика - нужно определить, какие максимальными могут быть значения )

Вообще-то при заданных значениях параметров система имеет 4 решения. Так что надо отыскать ещё не два, а три.

Правда не факт, что они все будут целочисленными. ПО крайней мере комбинация, когда x > 0, а y < 0, ИМХО, не целочисленная

Может быть спрашивается хотя бы одно решение? Или сколько решений имеет система при заданных параметрах?

Сколько лет ребёнку?

[Наталья Киршина]

Как физик по образованию и как мама недавней школьницы, могу сказать, что, скорее всего, предполагалось, что решение ищется графически.
Моя дочь (да и я сама в школьном возрасте) схлопотала двойку за слишком "умное" решение (с точки зрения преподавателя). Хотя обе свои задачки решали сами

ЗЫ: у нас в клубе как-то просьба сердобольного родителя решить задачку по физике для 8 класса привела к нешуточным баталиям, спиртное и закуски были забыты, а праздник чуть было не сорвался

[Воробей]

Ну ни х...а себе??????????
Это форум дайверов или математиков?
Я горжусь Вами,ребята.Без ухмылок.
Сильно,однако.

[dutf]

вообще странно, пока все решения получаются практически подбором (кроме графического метода)

потом решение-то напишите, плизз)))

[ReedCat]

вообще странно, пока все решения получаются практически подбором (кроме графического метода)

потом решение-то напишите, плизз)))

Для уравнений этого класса - это нормально. Для школьников.